各个分量的偏导数为0，这是一个必要条件。充分条件是这个多元函数的二阶偏导数的行列式为正定或负定的。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是半正定的则需要进一步判断三阶行列式。如果这个多元函数的二阶偏导数的行列式是不定的，那么这时不是极值点。
以二元函数为例，设函数z=f(x，y)在点（x。，y。）的某邻域内有连续且有一阶及二阶连续偏导数，又fx(x。，y。），fy(x。，y。）=0，令
fxx(x。，y。)=a，fxy=(x。，y。）=b，fyy=(x。，y。）=c
则f(x，y)在（x。，y。）处是否取得极值的条件是
（1）ac-b*b>0时有极值
（2）ac-b*b<0时没有极值
（3）ac-b*b=0时可能有极值，也有可能没有极值如果是n元函数需要用行列式表示。估计你也没学行列式呢。
偏导数求极值公式
1、x方向的偏导：
设有二元函数 z=f(x，y) ，点(x0，y0)是其定义域D 内一点。把 y 固定在 y0而让 x 在 x0 有增量 △x ，相应地函数 z=f(x，y) 有增量（称为对 x 的偏增量）△z=f(x0+△x，y0)-f(x0，y0)。
如果 △z 与 △x 之比当 △x→0 时的极限存在，那么此极限值称为函数 z=f(x，y) 在 (x0，y0)处对 x 的偏导数，记作 f'x(x0，y0)或函数 z=f(x，y) 在(x0，y0)处对 x 的偏导数，实际上就是把 y 固定在 y0看成常数后，一元函数z=f(x，y0)在 x0处的导数。
2、y方向的偏导：
同样，把 x 固定在 x0，让 y 有增量 △y ，如果极限存在那么此极限称为函数 z=(x，y) 在 (x0，y0)处对 y 的偏导数。记作f'y(x0，y0)。
3、极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
设n(n>2)元函数
在点
的某个邻域内有定义，如果对该邻域内任一异于
的点
都有
或
则称函数在有极大值(或极小值)。极大值、极小值统称为极值，使函数取得极值的点称为极值点。
扩展资料
求多元函数偏导数的关键是求某一变元偏导数，把其它变元视为常数。
从偏导数的定义中可以看出，偏导数的实质就是把一个变量固定，而将二元函数看成另一个变量的一元函数的导数．因此求二元函数的偏导数，不需要引进新的方法，只须用一元函数的微分法，把一个自变量暂时视为常量，而对另一个自变量进行求导即可。
在一元函数的微分里，函数在某点可导必连续，但对二元函数来说，即使它在某点对所有变元的偏导数都存在，但函数在该点也不一定连续这也是一元函数与多元函数的区别之处
偏导数求极值公式
fx(x，y)=3x²+6x-9=0fy(x，y)=-3y²+6y=0解得x1=-3 x2=1 y1=0 y2=2x和y有四种组合 (-3，0) (-3，2) (1，0) (1，2)A=fxx(x，y)=6x+6 B=fxy(x，y)=0 C=fyy=-6y+6(-3，0) A=-12 B=0 C=6AC-B²=-72<
0 所以f(-3，0)不是极值(-3，2) A=-12 B=0 C=-6AC-B²=72>0 且A<
0所以f(-3，2)是极大值(1，0) A=12 B=0 C=6AC-B²=72>0 且A>
0所以f(1，0)是极小值(1，2) A=12 B=0 C=-6AC-B²=-72<0 且A>
0所以f(1，2)不是极值综上所述所以改函数极大值为f(-3，2)=31极小值为f(1，0)=-5
